Estrategias para mejorar la aplicabilidad de métodos iterativos que utilizan diferencias divididas

Uno de los problemas más antiguos de las matemáticas, y por extensión de las ciencias y las ingenierías, es la resolución de ecuaciones no lineales; y, en particular, la aproximación de las soluciones de las ecuaciones con suficiente exactitud. Así, nos podemos encontrar con una gran cantidad de problemas que se pueden reescribir en términos de ecuaciones a resolver, lo que conduce a una gran variedad de ecuaciones: sistemas finitos e infinitos, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales sujetas a condiciones iniciales o de contorno, o una combinación de ambas, y ecuaciones integrales o integrodiferenciables. Además, generalmente, estas ecuaciones son no lineales. Las variables de las ecuaciones pueden ser números reales o complejos (ecuaciones algebraicas simples con una sola variable), vectores (sistemas de ecuaciones) o funciones (ecuaciones diferenciales o integrales).
Sin embargo, desde el punto de vista del análisis funcional, todas estas ecuaciones se pueden expresar en función de operadores que aplican algún espacio lineal en otro espacio lineal, de manera que las soluciones buscadas son elementos o puntos del espacio correspondiente. En consecuencia, los esquemas numéricos que, en este marco tan general, aproximan las soluciones de esta gran variedad de problemas conducen al desarrollo de métodos efectivos y fiables que aproximan soluciones, con suficiente exactitud, de las ecuaciones en el espacio original o en un espacio relacionado. Excepto en casos especiales, los esquemas numéricos de resolución más comúnmente utilizados son métodos iterativos que proporcionan una sucesión que converge, a partir de una o varias aproximaciones iniciales, a una solución de la ecuación a resolver. Como estos métodos tienen la misma estructura recursiva, los hemos introducido y estudiado dentro de un marco general: el de los espacios de Banach.
[Logroño: 2014]

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